1. 반도체 물질 및 성질
1. 고체에서의 전하 캐리어
원자의 화학적 성질은 최외각 궤도에 있는 전자에 의해 결정되며, 여기에서의 전자는 원자가 전자라고 불린다. 여기서는 실리콘 (Si)의 개념이 많이 나온다.
공유 결합
위에서 나온 Si를 예로 들자면, 실리콘 원자는 4개의 원자가 전자를 가진다. 따라서 완전한 궤도를 이루기 위해선 4개의 추가 원자가 전자가 필요하다. 정상적으로 반응하면 '수정'을 형성하는데, 각 원자는 똑같은 4개의 다른 원자를 이룬다. 이 원자가 만나면 공유 결합이 일어난다. (최외각 전자 공유)
이 수정은 절대 온도 0K 부근에서는 부도체로 동작하나, 온도가 올라갈수록 자유 전하 캐리어로 동작한다.
정공
공유결합이 깨지면 전자는 구멍을 남기는데, 이러한 구멍을 정공이라고 한다. 정공은 자유 전자를 흡수하기에 전자가 자유로울 때 전자-정공 쌍을 이루고 전자가 정공을 만났을 때에는 전자-정공 재결합이 발생한다. 정공의 방향이 곧 전류의 방향이다. (전자의 방향과는 반대이다.)
밴드갭 에너지
공유결합에서 전자를 떼어 내는 데 최소 에너지가 필요하는데, 그 필요한 에너지를 밴드갭 에너지라고 불린다. 이 밴드갭 에너지는 온도에 영향이 있다. 온도가 클수록 더욱더 많은 전자의 이동이 있다.
단위 부피당 전자의 수는 다음과 같다. 이는 실리콘의 경우이다.
$$n_{i} = 5.2 \times 10^{15} \times T^{\frac{3}{2}}\times exp(\frac{-E_{g}}{2KT})$$
여기서 k는 $1.38 \times 10^{-23} J/K$이다.
2. 캐리어 밀도 변화
고유 반도체에서의 전자 농도 $(n=n_{i})$은 정공 농도 $p$와 같다.
$$np = n_{i}^2$$
예를 들어, 수정 실리콘 조각이 인 원자로 균일하게 도핑되어 있다. 도핑 농도는 $10^{16}atoms/cm^{3}$일 때 전자와 정공의 농도를 구해보자. 실리콘의 전자 농도는 $T = 300K$일 때, $1.08 \times 10^{10} electrons/cm^{3}$ 이다. 또한, 도핑 농도가 저 정도이면 전자도 도핑 농도만큼 들어가 있다. 따라서, 정공의 농도는 $np=n_{i}^{2}$을 이용하여 계산한다.
또한, 다수 캐리어 (Majority Carrier)와 소수 캐리어 (Minority Carrier)의 관한 이야기이다. 고유 반도체가 단위 $cm^{3}$ 부피에 $N_D$ 농도의 도너 원자로 도핑된다면,
$$ Majority \ Carriers = n\approx N_D $$
$$ Minority \ Carriers = p\approx \frac{n_i^{2}}{N_D}$$
또한, 억셉터 원자가 도핑되면 다음과 같다.
$$ Majority \ Carriers = p\approx N_A $$
$$ Minority \ Carriers = n\approx \frac{n_i^{2}}{N_A}$$
3. 캐리어의 이동
드리프트
전기장에 의한 캐리어의 이동을 '드리프트' 라고 한다.
속도는 전기장에 비례한다.
$$ v \propto \overrightarrow{E} $$
그러므로,
$$ v = \mu \overrightarrow{E} $$
여기서 $\mu$는 이동도라 불리고, $cm^{2}/(V\bullet S)$가 단위이다.
전자는 전기장과 반대로 움직이므로 다음과 같이 식을 작성할 수 있다.
$$ \overrightarrow{v_e} = -\mu_n \overrightarrow E $$
정공은 다음과 같다.
$$ \overrightarrow{v_h} = -\mu_p \overrightarrow E $$
반도체 막대에 전압이 가해졌을 때 $v \ m/s$ 속도로 전자가 이동하면 다음과 같은 그림에서 전류는 다음과 같다.
$$ I=-v \bullet W \bullet h \bullet n \bullet q $$
여기서 $v \bullet W \bullet h$은 부피, $n \bullet q$은 쿨롱 단위의 전하 밀도를 나타낸다. 또한 부호는 전자가 음의 전하를 가지고 있다는 말이다.
저 식을 간편화 하면 $J_n = -\mu_n E \bullet n \bullet q $ 이 되는데 여기서 $J_n$은 전류 밀도를 말한다.
전자와 정공이 같이 있을 때 식은 다음과 같다.
$$
J_{tot} = \mu_{n}E \bullet n \bullet q + \mu_p E \bullet p \bullet q
\ = q(\mu_n n + \mu_p p)E
$$
속도 포화
지금까지는 속도가 전기장에 의해 선형적으로 증가한다는 사실을 배웠다. 하지만, 실제로 속도는 선형으로 변하지 않는다. 캐리어가 젹자와 자주 충돌하고 충돌 간 시간이 짧아 캐리어가 가속될 수 없기 떄문이다. 따라서, 속도는 높은 전기장에 의해 비선형적으로 증가하고, 포화 단계 $v_{sat}$에 도달한다. \
속도 포화를 표현하기 위해 공식은 살짝 수정된다. 먼저 $\mu$의 표현식이다. 이동도 $\mu$는 E가 증가할 때 0에 수렴하고 작은 E에서는 일정한 값을 갖도록 해야 한다.
$$ \mu = \frac {\mu_0}{1+bE}$$
그래서 $ v = \mu E$는 다음과 바뀐다. $\mu_0$는 저전기장 이동도이다.
$$ v = \frac {\mu_0}{1+bE} E$$
전기장이 한없이 높아지면, 속도는 일정 수준으로 포화 단계에 이른다. 따라서 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.
$$ v_{sat} = \frac{\mu_0}{b} $$
여기서 b = $\frac{\mu_0}{v_{sat}}$이므로 첫번째 식에 대입하면 다른 식이 나온다.
$$ \mu = \frac {\mu_0}{1+\frac{\mu_0E}{v_{sat}}}E$$
확산
확산은 고농도 영역에서 저농도 영역으로 이동하려는 성질이다.
농도의 불균일성이 커질수록 전류도 커진다.
$$I \propto \frac{dn}{dx} $$
n은 캐리어 농도이다. 또한, $\frac{dn}{dx}$는 기울기를 나타낸다. 각 캐리어의 전하가 q이고, 단면적이 A일 때 식은
$$I \propto Aq\frac{dn}{dx}$$
여기에 확산 계수 $D_n$이 추가되면,
$$I \propto AqD_n\frac{dn}{dx}$$
드리프트 전류에 사용된 개념과 같이 확산 전류를 교차 면적으로 나누어 전류 밀도라 정의하면,
$$J_n = q D_n \frac{dn}{dx}$$
정공에서도 다음과 같다.
$$J_p = -q D_p \frac{dp}{dx}$$
전자와 정공 농도에 의한 전체 전류 밀도는 다음과 같다.
$$J_{tot} = J_n + J_p$$